4. < > בניתוח של הטווח הארוך נניח שהפירמה מייצרת מוצר באמצעות שני גורמי יצור משתנים: עבודה ומכונות. נגדיר את פונ קצית הייצור: התפוקה המקסימאלית שניתן לייצור באמצעות צירוף, של תשומות: פונקצית הייצור בטווח הארוך, נגזר ות מסדר ראשון : תפוק ות שוליות נגזר ות צולבות נגזר ות מסדר שני: > < מסייעים < יריבים > אדישים
' 4. אדישים יריבים מסייעים הצגה גרפית של חתך פונקצית הייצור,, ' o ',, o ',, o > < ' > ' < ' ' > ' >
4.3 גמישות התפוקה E ה נובע משינוי של % ב- - / גמישות התפוקה ביחס לגורם ייצור : אחוז השינוי ב אחוז השינוי ב- E / אחוז השינוי ב- P E ה נובע משינוי של % ב- - / גמישות התפוקה ביחס לגורם ייצור : אחוז השינוי ב אחוז השינוי ב- E / אחוז השינוי ב- P E E נשתמש ב סכום הגמישויות כמדד של תשואות לגודל : / / אם < עליה של % ב- וב- גורמת לעליה של יותר מ- % ב-. תשואות עולות לגודל תעל אם > עליה של % ב- וב- גורמת לעליה של פחות מ- % ב-. תשואות יורדות לגודל תיל אם עליה של % ב- וב- גורמת לעליה של - % ב-. תשואות קבועות לגודל תקל
P > ; > שתי דוגמאות מספריות > ; > > ; > > ; > < < ; < ; < < ; < < ; < מסייעים > אדישים E / P E / P E / E / תיל תקל תעל סכום גמישוי ות קבועה < > E / E / E / P P E / / / סכום גמישוי ות משתנה תיל < 4.4
4.5 4 3 >, > על מנת לשמור על רמת תפוקה קבועה, אם מגדילים את כמות יש צורך להקטין את כמות. תאור גרפי של פונקצית הייצור - עקומות שוות תפוקה פונקצית הייצור: ה תפוקה המקסימאלית שנית ן לייצור באמצעות צירוף עקומת שוות תפוקה: כל הצירופים, שעבורם רמ ת התפוקה קבועה: מניחים שמייצרים, באיזור ה רציונאלי בו התפוקות השוליות חיוביות:, של תשומות. 4 5 3 דרך כל סל תשומות עוברת עקומת שוות תפוקה אחת. רמת התפוקה עולה כאשר נעים ימינה ומעלה ויורדת כאשר נעים שמאלה ומטה: 3 < < עקומות שוות תפוקה אינן נחתכות. 4 3
4.6 בעלות שיפוע פוחת בערך מחולט. הדרושות אם נקטין נוסיף Rate of Tecnical Substitution RTS - RTS 4 עקומות שוות תפוקה ה ן ב דרך כלל קמורות לראשית שיפוע שווה תפוקה מודד את התוספת ירידה ביחידות יחידה אחת של כך שלא יחול שינוי ברמת הייצור. נגדיר את שיפוע שווה תפוקה: שיעור התחלופה ה טכני RTS d d לאורך השווה תפוקה רמת ה תפוקה קבוע:, נמצא את הדיפרנציאל השלם: d d d לאורך השווה תפוקה אין שינוי בתפוקה: d d d d RTS ה- RTS שווה ליחס התפוקות השוליות של גורמי הייצור.
4.7 תנאים לקמירות עקומת שווה תפוקה RTS o עק ומת שוו ת תפוקה ק מורה אם ה- RTS בערך מוחלט פוחת, כלומר אם מתקיים: 3 d RTS d d d d d d d d d < 3? התנאי לקמירות הוא: < 3 < מכאן שתפוק ות שוליו ת פוחתות הוא לא תנאי מספיק וגם לא הכרחי לקמירות של עקו מות שוות תפוקה.
5 4.8 - נתאר עקומ ת שוות תפו קה עברו. דוגמה מספרית נניח פונקצי ת הייצור :.5..5.5.5 עק ומת שוו ת תפוקה :, נבחר שני סלי תשומות: -.5, 5.5 RTS RTS 5.5 5 נמצא את התפוק ות השוליות :.5.5 RTS פוחת: 5 נמצא את ה- : RTS.5 התקבל RTS
o 4.9. נניח שבשעת עבודה ידנית ניתן לייצר יחידות מוצר פונקצית הייצור היא לינארית: נמצא עקומת שווה תפו קה המתאימה לרמת תפוקה גורמי יצור תח ליפים מושלמים ובשעת עבוד ה של מכונה ניתן לייצר יחידו ת מוצר : o o o עק ומת שוו ת תפוקה ק ו ישר:, o ניתן לייצר התפוקה בצירופים: ; o, נמצא את ה- עק ומות שו ות תפוקה הן מקבילות ובעלות שיפוע קבוע. על מנת לשמור על רמת תפו קה קבועה, אם נפחית יחידת יש להוסיף / יחידות. במקרה זה גורמי הייצור הם תחליפים מושלמים. : RTS תפוק ות שו ליות קבועו ת : ; o o RTS
4. < 3 יחידות נניח שעל מנת לייצר יחידה אחת של מוצר גורמי יצור משלימים מושלמים יש צורך ב- יחידות וגם בפרופורציה קבועה. 3 מבלי להגדיל את כמות א ו להפך התפוקה לא תשתנה..3 בהתחלה כאשר נגדיל את כמות מתקיים: מעבר לנקו דה זו C 3 C יתקיים: מתקיים:,, C בנקו ד ות נגדיל את כמות,, C אם בנקו ד ו ת פונקצית הייצור היא :, min. ולכן נוכל לרשום : לא ניתן להגדיל את כאשר נגיע לנק ודה. C / מבלי להגדיל את כמות יחס הון לעובד קבוע. קבועה נצייר את פונ קצית הייצור עבור רמת נניח לאורך
פונקצית יצור הומוגנית מה קורה לתפוקת הפירמה כאשר מכפילים את כמות גורמי הייצור? מדוע שלא תוכפל? קיימים יתרונות לייצור בכמויות גדול ות, יצור בשיטת הסרט הנע ולכן יתכן שהתפוק ה תגדל יותר מפי שניים. מעבר לנקו דה מסויימת כאשר הפירמה גדולה מאוד יתכן שקשיי ניהול ותיאו ם יגרמו לירידה ביעילות וא ז א ם מכפילים את כמות גורמי הייצור התפוקה תיגדל בפחות מפי שניים. נניח שמייצרים את התפוקה באמצעות כמות גורמי הייצור,. נכפיל את כמות גורמי הייצור פי λ נעים לאורך קרן היוצאת מראשית הצירים שכן היחס / נשאר קבוע. אם בסל התשומות λ,λ מתקיים: פונקצית ייצור λ λ λ אזי קיימות תשואות קבוע ות לגודל תק"ל > λ אזי קיימות תשואות עו לות לגודל תע"ל < λ אזי קיימות תשואות יו רד ות לגודל תי"ל, היא הומוגנית מדרגה אם היא מקיימת: λ, λ λ, אם הכפלת כמות גורמי הייצור פי λ תגרום להגדלת התפוקה פי λ והפונקציה מקיימת תשואה קבוע לגודל תק"ל. אם < הכפלת כמות גורמי הייצור פי λ תגרום להגדלת התפוקה ביותר מפי λ והפונקציה מקיימת תשואה עולה לגודל תע"ל. אם > הכפלת כמות גורמי הייצור פי λ תגרום להגדלת התפוקה בפחות מפי λ והפונקציה מקיימת תשואה יורדת לגודל תי"ל. נבדו ק האם פונ קצית ייצור ק וב דגלס היא הומוגנית: λ λ λ λ, הפונקציה היא הומוגנית מדרגה ולכן אם: קיים תק"ל > קיים תע"ל < קיים תי"ל λ, λ 4.
λ 4. פונקצית יצור הומוגנית נבדו ק את פונקציה ייצור : λ, λ λ λ λ λ λ, פונקציה ז ו איננה הומוגנית למרות שמקיימת תי"ל שכן סכום גמישוי ות הייצור קטן מאחד אך לא קבוע: E / E / תי "ל > נבדו ק את פונקציה ייצור : λ λ λ, λ λ פונקציה ז ו הומוגנית מדרגה :, λ לפונ קציות יצור הומוגניות מספר תכונות : בפונקצי ה הומוגנית מדרגה לינארית התפו ק ות הממוצעות תלויו ת ביחס כמוי ות גורמי הייצור. λ, λ,. λ, λ λ,,, P כלומר הכפלת כמויות גורמי הייצור פי λ אינה משפיע על התפוק ות הממוצעות. נניח שמייצרים את התפוקה עם כמות קבועה של מכונות וכמות עובדים התפוקה הממוצעת בנקו דה היא. tan אם נגדיל את כמות בלבד פי λ נעבור לנק ו דה והתפוקה תגדל בהתאם. אך אם נגדיל גם את כמות פי λ התפוקה תגדל גם היא פי λ והתפו קה הממוצעת לא תשתנה נק ו דה. בפונקציה הומוגנית תק"ל: : נבחר λ/
λ λ 4.3 λ λ בפונקצי ה הומוגנית מדרגה התפוק ו ת השוליות הן פונקציו ת הומוגניו ת מדרגה -. λ, λ λ, בפונקציה הומוגנית : λ λ, λ λ, נגז ור את המשוואה לפי :, נחלק ב - λ ונ קבל פונקציה הומוגנית מדרגה - λ λ λ, : מכאן נובע: א במישור,, עולות, יור ד ות או הן קבוע ות אם לאורך קרן היוצאת מהראשית התפוק ות השוליות גדול, קט ן או שו וה ל- בהתאמה. λ, λ לנקו דה λ נתקד ם לאו רך קרן היוצאת מהראשית מנקוד ה הכמויות של, פי >. λ, על ידי הגדלת λ > > < <,, λ אם פונקצי ת הייצור מקיימת תק"ל, התפוק ות השוליות קבו עות. במקרה זה, נניח שמייצרים את התפוקה עם כמות קבועה של מכונות וכמות עובדים. בנקו דה התפוקה השולית היא tan והתפוקה הממוצעת. tan אם נגדיל את כמות בלבד פי λ נעבור לנק ו דה שבה התפוק ות השולית והממוצעת נמוכות יותר. אך אם נגדיל גם את כמות לאורך קרן היוצאת מהראשית התפוקה תגדל גם היא פי. λ והתפו ק ות λ פי השולית והממוצעת לא ישתנו נ ק ו דה
4.4 ב במישור,, לאורך קרן היוצאת מהראשית ה- RTS קבוע שכן יחס התפוק ות השוליות קבוע. λ RTS,, RTS λ נתקד ם לאו רך קרן היוצאת מהראשית מנקוד ה לנקו דה על ידי הגדלת הכמוי ות של, פי >. λ RTS λ λ,, λ λ λ λ,,,, RTS
4.5 C λ משפט אוילר: פונ ק ציה הומוגנית מדרגה מקיימת: λ, λ λ, בפונקציה הומוגנית : הנגזרת לפי λ, λ λ, λ λ, : λ נציב λ :. P : במקרה א מכאן נובע: תק"ל ניתן לראות: P או בצורה אחרת : >P I בעליה P 3 כאשר כאשר איזור איז ור מתקיים והתפוק ה השולית של המכונו ת שלילית, >. מתקיים <P והתפוקה השולית של המכונות חיובית, >.., והתפוקה השולית של המכונ ות שו וה לאפס P C λ כך.C II בירידה P כאשר בצורה גרפית, P במק סימום מתקיים אם נגדיל את כמות נבחר נק ו דה בלבד פי באיזור I שמאלה מנק ודה. C התפוקה תגדל ל- λ אך אם נגדיל גם את כמות פי λ התפוקה תגדל גם היא פי שלא יחול שינוי בתפוקה הממוצעת נק ודה. יחסית למקרה בו מגדילים את בלבד, התפוקה גדלה פחות כאשר מגדילים גם את כמות מכאן שהתפוקה השולית של שלילית. λ
4.6 ב סכום גמישויות הייצור שו וה. משפט אוילר: נחלק את המשוואה ב - : P P E / E / ג קיים קשר בין יחס התחלופה השלמה של גורמי יצור לחו ק התפוקה השולית הפוחתת דרגת ההומוגני ות שוו ה לסכום גמישויות הייצור מאחר והתפוק ות השוליות הן הומוגניות מדרגה - הן מקיימות משפט אוילר: אם נניח פונקצית ייצו ר : תק"ל תפוק ות שו ליות פוחתו ת במקרה תק"ל מחייב שגורמי הייצור הם מסייעים ולהפך. < במקרה זה תפוק ות שו ליות פוחתו ת הוא תנאי מספיק והכרחי לקבלת עק ומות שו ות תפוקה קמור ות לראשית. התנאי לקמירות של עק ומות שו ות תפוקה: